14:26 02-03-2009 Задачки (продолжение)
7. Поставьте между цифрами знаки арифметических действий так, чтобы выполнялось равенство:
1*2*3*4*5*6*7=2.
8. Шаги низкого на 20% короче, чем шаги высокого, но зато он за это же время делает на 20% больше шагов, чем высокий. Кто ходит быстрее?
9. Все целые числа выписаны подряд, начиная от единицы. Какая цифра стоит на 2009 месте?
10. Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, длины трёх сторон которого равны единице?
\upd
11. На столе лежат красно - синие фишки, из которых 62 – синей стороной вверх и 38 – красной стороной вверх. В комнате выключен свет; можно только перемещать фишки и переворачивать их другой стороной. Нужно разделить фишки на две группы, в каждой из которых должно быть одинаковое количество фишек, лежащих красной стороной вверх. Как надо действовать?
12. Дана последовательность, заданная рекуррентно:
s_1=\sqrt 2, s_{n+1}=\sqrt{s_n+2}.
Показать, что эта последовательность имеет предел и найти его.
\upd
1) Встречается пять пар, начинают жать друг другу руки, здороваться, ну каждый здоровается со всеми, кроме своего напарника, с которым пришел, в какой-то момент один из них говорит: "Стоп! Назовите каждый кол-во рукопожатий, которое вы сделали". Все называют числа от 0 до 8. Вопрос: сколько рукопожатий сделал тот, кто остановил процесс?
2) есть 12 гирек, одна из них отличается от остальных по весу, неизвестно, легче или тяжелее. За 3 взвешивания выявить отличающуюся гирьку. Весы обычные, чашечные.
3) Есть 2 одинаковых стеклянных шара и многоэтажное здание с кол-вом этажей Х. Найти методику, по которой можно определить этаж, бросая с которого шар на землю, шар не разобьется, за наименьшее кол-во шагов.
4) Царь собрал всех придворных мудрецов и сообщил им: завтра я одену на вас черные и белые колпаки и поставлю в ряд. Каждый из вас должен будет сказать, какого цвета на нём колпак, за ошибку - смертная казнь. Как должны договориться между собой мудрецы, чтобы как можно больше из них выжило.
1*2*3*4*5*6*7=2.
8. Шаги низкого на 20% короче, чем шаги высокого, но зато он за это же время делает на 20% больше шагов, чем высокий. Кто ходит быстрее?
9. Все целые числа выписаны подряд, начиная от единицы. Какая цифра стоит на 2009 месте?
10. Какую наибольшую площадь может иметь четырёхугольник, длины трёх сторон которого равны единице?
\upd
11. На столе лежат красно - синие фишки, из которых 62 – синей стороной вверх и 38 – красной стороной вверх. В комнате выключен свет; можно только перемещать фишки и переворачивать их другой стороной. Нужно разделить фишки на две группы, в каждой из которых должно быть одинаковое количество фишек, лежащих красной стороной вверх. Как надо действовать?
12. Дана последовательность, заданная рекуррентно:
s_1=\sqrt 2, s_{n+1}=\sqrt{s_n+2}.
Показать, что эта последовательность имеет предел и найти его.
\upd
Задачки от Штучки
1) Встречается пять пар, начинают жать друг другу руки, здороваться, ну каждый здоровается со всеми, кроме своего напарника, с которым пришел, в какой-то момент один из них говорит: "Стоп! Назовите каждый кол-во рукопожатий, которое вы сделали". Все называют числа от 0 до 8. Вопрос: сколько рукопожатий сделал тот, кто остановил процесс?
2) есть 12 гирек, одна из них отличается от остальных по весу, неизвестно, легче или тяжелее. За 3 взвешивания выявить отличающуюся гирьку. Весы обычные, чашечные.
3) Есть 2 одинаковых стеклянных шара и многоэтажное здание с кол-вом этажей Х. Найти методику, по которой можно определить этаж, бросая с которого шар на землю, шар не разобьется, за наименьшее кол-во шагов.
4) Царь собрал всех придворных мудрецов и сообщил им: завтра я одену на вас черные и белые колпаки и поставлю в ряд. Каждый из вас должен будет сказать, какого цвета на нём колпак, за ошибку - смертная казнь. Как должны договориться между собой мудрецы, чтобы как можно больше из них выжило.
Комментарии:
JimmyM
14:37 02-03-2009
9. "0" в числе "706"
P.S. остальные - лень...
P.S. остальные - лень...
14:39 02-03-2009
Про шаги хорошая, надо сыну загадать 
14:51 02-03-2009
1*2*3+4+5-6-7 = 2
14:57 02-03-2009
А в 10 же ответ корявый получается?
15:00 02-03-2009
JimmyM Ты как считал?
vakito 7) - да, а 10) я еще сама не решала, так что давай свое решение, посмотрим.
vakito 7) - да, а 10) я еще сама не решала, так что давай свое решение, посмотрим.
15:08 02-03-2009
10. = 1, по моему:-)
если память не ошибается по принципу максимальной площади треугольника с двумя равными сторонами м .б. у прямоугольного треугольника, кажысь
если память не ошибается по принципу максимальной площади треугольника с двумя равными сторонами м .б. у прямоугольного треугольника, кажысь
15:09 02-03-2009
Джей
В результате некоторых умозаключений четырехугольник превратился в равнобокую трапецию с высотой h и тремя сторонами по единице. Посчитал площадь этой штуки, нашел максимум по h, получил h^2 = 3/4.
Итого площадь 5 корней из 3 делить на 8. Ну там еще левые корни проверяются -- с ними площадь меньше получилась.
В результате некоторых умозаключений четырехугольник превратился в равнобокую трапецию с высотой h и тремя сторонами по единице. Посчитал площадь этой штуки, нашел максимум по h, получил h^2 = 3/4.
Итого площадь 5 корней из 3 делить на 8. Ну там еще левые корни проверяются -- с ними площадь меньше получилась.
15:11 02-03-2009
vakito )
16:17 02-03-2009
в 7-м умножение на сложение заменить можно, а в 10-м 1,3 примерно - трапеция с углом 60 градусов.
16:19 02-03-2009
Ну как хорошо, я теперь ничего сама решать не буду, буду тут спрашивать )))
JimmyM
16:27 02-03-2009
Джей
1..9 - 9*1 = 9
10..99 - 90*2 = 180
100..705 - 606*3 = 1818
706 = 2
1..9 - 9*1 = 9
10..99 - 90*2 = 180
100..705 - 606*3 = 1818
706 = 2
16:28 02-03-2009
pim sibirsky 1,299..
А как доказать, что это максимум?
vakito h^2 = 3/4 - да, а дальше не опечатка ли у тебя?
А как доказать, что это максимум?
vakito h^2 = 3/4 - да, а дальше не опечатка ли у тебя?
16:32 02-03-2009
Джей
а, да. ошибся. три корня из трех на четыре.
а, да. ошибся. три корня из трех на четыре.
16:32 02-03-2009
JimmyM
Очень аккуратно считаешь
O De San
Да, обычно правильные фигуры обладают такими хорошими свойствами )) но равнобедренная трапеция с углом 60 состоит как раз из трех правильных треугольников, и это оказалось сильнее, чем квадрат ))
Очень аккуратно считаешь
O De San
Да, обычно правильные фигуры обладают такими хорошими свойствами )) но равнобедренная трапеция с углом 60 состоит как раз из трех правильных треугольников, и это оказалось сильнее, чем квадрат ))
16:32 02-03-2009
Производную от площади к нулю приравнять. У vakito квадрат высоты, т.е. синуса равен 3/4 - тоже 60 градусов получается
16:34 02-03-2009
Джей да, сплошала сдаюсь)
сдаюсь)
16:36 02-03-2009
pim sibirsky
vakito писал так:
В результате некоторых умозаключений четырехугольник превратился в равнобокую трапецию с высотой h и тремя сторонами по единице. Посчитал площадь этой штуки, нашел максимум по h...
Умозаключения интересуют
vakito писал так:
В результате некоторых умозаключений четырехугольник превратился в равнобокую трапецию с высотой h и тремя сторонами по единице. Посчитал площадь этой штуки, нашел максимум по h...
Умозаключения интересуют
16:43 02-03-2009
Задачку номер 8 решать будет, очевидно, сын Mikki Okkolo
Ладно, напишу новые.
Ладно, напишу новые.
16:47 02-03-2009
0,8х1,2=0,96
16:51 02-03-2009
pim sibirsky, ага, это для низкого.
И 1+2-3-4+5-6+7=2 - умножение на сложение заменить можно, так вроде.
И 1+2-3-4+5-6+7=2 - умножение на сложение заменить можно, так вроде.
16:54 02-03-2009
можно так, а можно и 1+2+3+4+5-6-7
16:56 02-03-2009
pim sibirsky О, точно, а я и не видела.
16:59 02-03-2009
Джей Умозаключения интересуют
Умозаключения нестрогие, основываются на черетеже. Однако, если бы требовалось четкое обоснование, а не ответ, я бы рассматривал произвольный четырехугольник. Высоту из одной вершины на осонвание (которое не равно 1) обозвал бы h, из другой kh (k>=1 без ограничения общности). Провел бы перпендикуляр из первой вершины ко второй высоте. Получается три прямоугольных треугольника и прямоугольник. Считаем общую площадь, экстремум по k. Получаем k=1 -- равнобокая трапеция.
Умозаключения нестрогие, основываются на черетеже. Однако, если бы требовалось четкое обоснование, а не ответ, я бы рассматривал произвольный четырехугольник. Высоту из одной вершины на осонвание (которое не равно 1) обозвал бы h, из другой kh (k>=1 без ограничения общности). Провел бы перпендикуляр из первой вершины ко второй высоте. Получается три прямоугольных треугольника и прямоугольник. Считаем общую площадь, экстремум по k. Получаем k=1 -- равнобокая трапеция.
17:08 02-03-2009
кстати, подумала что задача для олимпиадников-школьников т.е. без экстремумов надо
17:09 02-03-2009
O De San
В школе проходят производные.
В школе проходят производные.
17:10 02-03-2009
vakito спец школе, все же,
в конкурсах заставляют без них, хотя у меня уж скоро будет 17 лет как после или у вас повсеместно повысили уровень перед ВУЗами?
в конкурсах заставляют без них, хотя у меня уж скоро будет 17 лет как после
или у вас повсеместно повысили уровень перед ВУЗами?
17:13 02-03-2009
11 - отделить 38 фишек и перевернуть их.
а насчёт последовательностей пас, пожалуй
а насчёт последовательностей пас, пожалуй
17:16 02-03-2009
насчет последовательностей придется лезть на антресоль за родимыми конспектиками пожелтевшими по матану, та мдаже точно такой пример есть, помню был
с пол-пинка отдельные цифры помню и то невпопад и несвязно стыдно- стыдно
с пол-пинка отдельные цифры помню и то невпопад и несвязно
стыдно- стыдно
17:26 02-03-2009
O De San
Производные в общей программе, и интегралы тоже. Сейчас как раз обсуждают, не убрать ли.
pim sibirsky
Чего это пас )) ну пусть не доказывать, что существует )
а если предположть, что существует, найти просто.
vakito
Там же еще площадь от всяких переменных зависит, их куда девать?
Производные в общей программе, и интегралы тоже. Сейчас как раз обсуждают, не убрать ли.
pim sibirsky
Чего это пас )) ну пусть не доказывать, что существует )
а если предположть, что существует, найти просто.
vakito
Там же еще площадь от всяких переменных зависит, их куда девать?
17:30 02-03-2009
Дык, что такое рекуррентно, вроде понятно из условия. А косая перед корнем что означает?
17:31 02-03-2009
производные проходят во всех школах.
Для задачи с четырехугольником нашел более простое обоснование того, что это равнобокая трапеция, но оно основано на дополнительных построениях, и выкладывать я его не буду (впрочем, там тоже нада искать экстремумы, но уравнение проще).
В 12ом можно решить через формулу для сложного радикала.
Для задачи с четырехугольником нашел более простое обоснование того, что это равнобокая трапеция, но оно основано на дополнительных построениях, и выкладывать я его не буду (впрочем, там тоже нада искать экстремумы, но уравнение проще).
В 12ом можно решить через формулу для сложного радикала.
17:34 02-03-2009
Джей Там же еще площадь от всяких переменных зависит, их куда девать?
Там две переменные: высота и коэффициент k. По идее там высота сокращается после дифференцирования. Нет разве? В любом случае см. мой предыдущий пост.
Там две переменные: высота и коэффициент k. По идее там высота сокращается после дифференцирования. Нет разве? В любом случае см. мой предыдущий пост.
17:34 02-03-2009
pim sibirsky
косая перед корнем
извини, формула в ТеХе была написана, там символом \ отмечается начало команды, то есть \sqrt 2 - это корень квадр. из 2, \sqrt{s_n+2}- это корень квадр. из s_n+2.
косая перед корнем
извини, формула в ТеХе была написана, там символом \ отмечается начало команды, то есть \sqrt 2 - это корень квадр. из 2, \sqrt{s_n+2}- это корень квадр. из s_n+2.
17:44 02-03-2009
vakito
Там две переменные: высота и коэффициент k.
Да, они же прямоугольные. У одного гипотенуза 1, катет h, у другого гипотенуза 1, катет kh, у третьего гипотенуза 1, катет (k-1)h, у прямоугольника стороны 1и h. Высота должна сокращаться.
Там две переменные: высота и коэффициент k.
Да, они же прямоугольные. У одного гипотенуза 1, катет h, у другого гипотенуза 1, катет kh, у третьего гипотенуза 1, катет (k-1)h, у прямоугольника стороны 1и h. Высота должна сокращаться.
18:09 02-03-2009
11 буду решать, интересная) 12 - тёмный лес, я даже не понимаю, что там написано)) Вот вам из моих старых запасов:
1) Встречается пять пар, начинают жать друг другу руки, здороваться, ну каждый здоровается со всеми, кроме своего напарника, с которым пришел, в какой-то момент один из них говорит: "Стоп! Назовите каждый кол-во рукопожатий, которое вы сделали". Все называют числа от 0 до 8. Вопрос: сколько рукопожатий сделал тот, кто остановил процесс?
2) есть 12 гирек, одна из них отличается от остальных по весу, неизвестно, легче или тяжелее. За 3 взвешивания выявить отличающуюся гирьку. Весы обычные, чашечные.
3) Есть 2 одинаковых стеклянных шара и многоэтажное здание с кол-вом этажей Х. Найти методику, по которой можно определить этаж, бросая с которого шар на землю, шар не разобьется, за наименьшее кол-во шагов.
4) Царь собрал всех придворных мудрецов и сообщил им: завтра я одену на вас черные и белые колпаки и поставлю в ряд. Каждый из вас должен будет сказать, какого цвета на нём колпак, за ошибку - смертная казнь. Как должны договориться между собой мудрецы, чтобы как можно больше из них выжило.
1) Встречается пять пар, начинают жать друг другу руки, здороваться, ну каждый здоровается со всеми, кроме своего напарника, с которым пришел, в какой-то момент один из них говорит: "Стоп! Назовите каждый кол-во рукопожатий, которое вы сделали". Все называют числа от 0 до 8. Вопрос: сколько рукопожатий сделал тот, кто остановил процесс?
2) есть 12 гирек, одна из них отличается от остальных по весу, неизвестно, легче или тяжелее. За 3 взвешивания выявить отличающуюся гирьку. Весы обычные, чашечные.
3) Есть 2 одинаковых стеклянных шара и многоэтажное здание с кол-вом этажей Х. Найти методику, по которой можно определить этаж, бросая с которого шар на землю, шар не разобьется, за наименьшее кол-во шагов.
4) Царь собрал всех придворных мудрецов и сообщил им: завтра я одену на вас черные и белые колпаки и поставлю в ряд. Каждый из вас должен будет сказать, какого цвета на нём колпак, за ошибку - смертная казнь. Как должны договориться между собой мудрецы, чтобы как можно больше из них выжило.
18:18 02-03-2009
Штучка
По 1-й вопрос: числа у всех разные или могут совпадать?
По 1-й вопрос: числа у всех разные или могут совпадать?
18:29 02-03-2009
хы, а с одиннадцатой да, обалдеть) таки отложить 38 и перевернуть) спасибо, классная задачка)
18:30 02-03-2009
Джей разные)
18:32 02-03-2009
Штучка
Со взвешиванием понятно как. А про мудрецов - видят ли они что-нибудь? Цвет колпаков друг друга?
Со взвешиванием понятно как. А про мудрецов - видят ли они что-нибудь? Цвет колпаков друг друга?
18:38 02-03-2009
Джей мудрецы да, видят колпаки тех, кто стоит перед ними и слышат, кто какой ответ дает царю.
18:40 02-03-2009
Джей а со взвешиванием - как?)
18:43 02-03-2009
типа в шеренгу стоят
тогда более-менее понятно, и с шарами тоже - там квадратное уравнение надо решать.
Я пока не буду писать решений.
тогда более-менее понятно, и с шарами тоже - там квадратное уравнение надо решать.
Я пока не буду писать решений.
18:46 02-03-2009
Джей ок)
18:48 02-03-2009
Штучка
Со взвешиванием - на 3 группы по 4, записывать результаты, перемешивать.
Я потом могу написать, если что, но я ее просто раньше решала.
Со взвешиванием - на 3 группы по 4, записывать результаты, перемешивать.
Я потом могу написать, если что, но я ее просто раньше решала.
18:54 02-03-2009
Джей но я ее просто раньше решала а, тогда ладно)
18:57 02-03-2009
Штучка
а с шарами можешь задать число этажей, я напишу, сколько шагов чтоб не исать методику.
а с шарами можешь задать число этажей, я напишу, сколько шагов
чтоб не исать методику.
19:07 02-03-2009
Джей ну хорошо, давай на 100 этажей)
19:08 02-03-2009
А с 12 - да. Если условия не понимаешь, лучше подождать в сторонке, чего люди скажут. Только чё-то никто не говорит
19:18 02-03-2009
Штучка На 100: больше, чем 13, 57 но ясно дело, целое, значит, 14.
19:20 02-03-2009
pim sibirsky
Я думала, ты про 12 монет
а ты про последовательность.
Если предел существует, то у s_{n+1} и s_{n} он один и тот же, вот что!
Я думала, ты про 12 монет
а ты про последовательность.
Если предел существует, то у s_{n+1} и s_{n} он один и тот же, вот что!
19:21 02-03-2009
Джей да, оно))
20:15 02-03-2009
Джей Это понятно. И если s_{n+1}=\sqrt{s_n+2}, то s_n+2=(s_{n+1})^2 - к нулю вроде должно сходиться при первом члене меньше 1. А здесь он равен sqrt(2).
Резюме: чего-то недопонимаю в условии по сути или в обозначениях
Резюме: чего-то недопонимаю в условии по сути или в обозначениях
20:17 02-03-2009
pim sibirsky
s_n+2 это не s_{n+2}
2 прибавляется не в индексе, а к s_n
s_n+2 это не s_{n+2}
2 прибавляется не в индексе, а к s_n
20:24 02-03-2009
тогда к 2-м и сойдётся
20:27 02-03-2009
pim sibirsky
Ну да.
А существование предела вытекает из :
1) последовательность s_n ограничена сверху,
2) последовательность монотонно возрастает.
Есть теорема, что из этого следует существование предела.
Ну да.
А существование предела вытекает из :
1) последовательность s_n ограничена сверху,
2) последовательность монотонно возрастает.
Есть теорема, что из этого следует существование предела.
20:38 02-03-2009
а если вместо одной из этих двоек sin(n) поставить, сойдётся?
21:14 02-03-2009
не, не сходится
21:19 02-03-2009
а если s(n+1)=sqrt(s(n)+sin(s(n))), сходится
22:53 02-03-2009
Штучка
я про мудрецов решил. все живыми останутся кроме одного с 50% вероятностью. Улучшить можно?
я про мудрецов решил. все живыми останутся кроме одного с 50% вероятностью. Улучшить можно?
23:50 02-03-2009
vakito нет, это оптимальное) молодец)
09:59 03-03-2009
vakito
А как ты решил? Вычет по модулю два?
А как ты решил? Вычет по модулю два?
11:20 03-03-2009
Штучка, в 1): напарник того. кто остановил процесс, сделал 4 рукопожатия?
12:38 03-03-2009
Запишу-ка про 1), а то забуду.
Присвоим каждому номер, равный числу сделанных рукопожатий (от 0 до 8), а тому, кто остановил - номер 9.
Рассмотрим 8-го. Он не жмет руку себе, своему напарнику и 0-му(потому что 0-й никому не жмет). Значит, у него должно быть 10-3=7 рукопожатий, а у него 8, значит, его напарник и 0-й - это один человек. Уберем пару напарников (0, 8). У оставшихся число рукопожатий от 1 до 7, но вместе с 8-м уберутся его рукопожатия (он жал руку всем). Поэтому у оставшихся без учета первой пары число рукопожатий от 0 до 6.
Получили вариант первоначальной задачи пониженной размерности. Аналогично, 1-й - это напарник 7-го. Убираем теперь эту пару, и потом еще повторяем процедуру. Последним останется 4-й, это и есть напарник 9-го.
Сумма у них все время постоянна, так что у 9-го тоже будет 4 рукопожатия (с 9-м, 7-м, 6-м, 5-м), хотя вот это я бы еще посмотрела (я это не доказала пока.)
Присвоим каждому номер, равный числу сделанных рукопожатий (от 0 до 8), а тому, кто остановил - номер 9.
Рассмотрим 8-го. Он не жмет руку себе, своему напарнику и 0-му(потому что 0-й никому не жмет). Значит, у него должно быть 10-3=7 рукопожатий, а у него 8, значит, его напарник и 0-й - это один человек. Уберем пару напарников (0, 8). У оставшихся число рукопожатий от 1 до 7, но вместе с 8-м уберутся его рукопожатия (он жал руку всем). Поэтому у оставшихся без учета первой пары число рукопожатий от 0 до 6.
Получили вариант первоначальной задачи пониженной размерности. Аналогично, 1-й - это напарник 7-го. Убираем теперь эту пару, и потом еще повторяем процедуру. Последним останется 4-й, это и есть напарник 9-го.
Сумма у них все время постоянна, так что у 9-го тоже будет 4 рукопожатия (с 9-м, 7-м, 6-м, 5-м), хотя вот это я бы еще посмотрела (я это не доказала пока.)
12:38 03-03-2009
Решение остальных задач Штучки я тоже могу написать, если надо.
22:24 03-03-2009
Джей всё правильно, да) хотя кому именно он жал руки, я как-то не задумывалась, меня интересовал только результат и метод) в этом плане ты абсолютно в точку)
07:19 04-03-2009
Штучка
У нас на Камраде целая тема была в форуме про задачи.
http://kamrad.ru/showthread.php?s=&...%E0%F2%E8%EA%E0
Еще когда дневников не было.
У нас на Камраде целая тема была в форуме про задачи.
http://kamrad.ru/showthread.php?s=&...%E0%F2%E8%EA%E0
Еще когда дневников не было.
08:16 04-03-2009
Джей
да нет у меня именно "решения". Просто придумал метод, когда рискует только один. Оптимальность не доказывал.
да нет у меня именно "решения". Просто придумал метод, когда рискует только один. Оптимальность не доказывал.
08:59 04-03-2009
Пишут, что вчера день квадратного корня был. С праздником, дамы и господа математики.
13:11 04-03-2009
pim sibirsky Здорово!
И тебя с праздником!
В каждом столетии есть девять дней квадратного корня. В этом веке такой день один раз уже наступал - это было 2 февраля 2004 года (его формула 2- 2- 4).
А 1 января 2001 года почему не годится?
И тебя с праздником!
В каждом столетии есть девять дней квадратного корня. В этом веке такой день один раз уже наступал - это было 2 февраля 2004 года (его формула 2- 2- 4).
А 1 января 2001 года почему не годится?
13:13 04-03-2009
vakito и какой метод?)
13:13 04-03-2009
Джей ого, спасибо!)
13:17 04-03-2009
vakito
Вычет по модулю два - я имею в виду четность.
Последний говорит по уговору цвет, соответствующий четности числа черных колпаков во всей шеренге перед ним. Следующий тоже подсчитывает эту четность, и если она не изменилась, на нем белый колпак, а если изменилась - черный. Все следующие уже точно отвечают, какого цвета колпак надет.
Вычет по модулю два - я имею в виду четность.
Последний говорит по уговору цвет, соответствующий четности числа черных колпаков во всей шеренге перед ним. Следующий тоже подсчитывает эту четность, и если она не изменилась, на нем белый колпак, а если изменилась - черный. Все следующие уже точно отвечают, какого цвета колпак надет.