Криповато без чертежей и с лишними словесами разжуем планиметрическую гранитную крошку.

1. Обозначим квадрат как "ABCD", точку пересечения отрезков как "J", а точки отрезков на сторонах квадрата как "E","F","G","H" соответственно. Причем, "F" лежит на "AB"; "G" на "BC"; "H" на "CD" и "E" на "AD".

2. Построим отрезки к точке J из вершин квадрата. Легко видеть, что мы получили треугольники AJB с медианой JF, BJC с медианой JG, CJD с медианой JH и DJA с медианой JE (т.к. по условиям задачи точки E,F,G и H делят стороны квадрата пополам).

3. Пользуясь тем свойством медианы, что она разбивает треугольник на два равновеликих по площади треугольника, - площади AJB, BJC, и CJD можно представить как: 2*P для AJB; 2*Q для CJD; 2*R для BJC и 2*S для DJA. Причем, сумма этих площадей составляет площадь квадрата ABCD.

4. Легко видеть При некоторых умственных усилиях можно заметить Очевидно, что сумма площадей P+Q+R+S = P+Q+R+S. Откуда (P+Q) + (R+S) = (Q+R) + (S+P), где слагаемые в скобках являются площадями четырехугольников AFJE, FBGJ, GCHJ и HDEJ. Поэтому, имея равенство (P+Q) + (R+S) = (Q+R) + (S+P) и зная любые три площади имеющихся сегментов, мы легко найдем площадь четвертого.

отредактировано: 27-11-2018 11:32 - Кар-Карон

⅓ от площади известного сегмента.

Неправильно.
Тем более, что сегментов нам известно три, площади у всех разные, от какого из них собираетесь 1/3 брать?

[изображение]



Но ты же имеешь в виду универсальный ответ для любого случая местоположения общей точки?

Данное условие:

Квадрат разделен на четыре сегмента отрезками, соединяющихся в общей точке и проведенными из середин его сторон.

я истрактовала так, что отрезки были проведены из середин всех сторон, потому что никаких уточнений о том, из середин скольких сторон были проведены отрезки, не дано. В этом случае получается, что один квадрат разделен на четыре равных квадрата с равной же площадью.
Если это не так, прошу уточнить условия, потому что я честно попыталась нарисовать рисунок по данным корректировкам, и у меня получилось, что в таком случае квадрат делится не на четыре, а на восемь неравных сегментов.
Единственный случай, когда квадрат может быть разделен на четыре неравных сегмента в данных условиях - это когда пересекаются два отрезка, проведенных из середин двух сторон. Тогда ищется либо площадь прямоугольного треугольника, либо площадь прямоугольной же трапеции, в зависимости от того, как выглядит известный нам сегмент.
Так что вот два ответа: либо одна треть от известной площади, либо площадь прямоугольного треугольника или трапеции. Для более конкретного ответа мало вводных данных.

Отрезки соединяются концами в произвольной точке внутри фигуры "квадрат", другие концы отрезков лежат на серединах сторон данного квадрата (каждый на своей).
Решение подразумевает формализованный ответ для всех случаев.
В частном случае - мы можем получить равные сегменты, являющиеся квадратами (если общая точка строго по центру).
В таком случае площадь четвертого сегмента будет равна площади любого другого, т.к. они равны.
А в общем случае - нет, площади четырехугольников получатся разные.

Единственный случай, когда квадрат может быть разделен на четыре неравных сегмента в данных условиях - это когда пересекаются два отрезка, проведенных из середин двух сторон.

Почему?

[изображение]

И эта точка может гулять по всему квадрату.

Ладно, устал я интригу накручивать.
Задачка на свойства медианы, раскрываю первый комментарий к посту.

Кар-Карон

Очевидно, что сумма площадей P+Q+R+S = P+Q+R+S. Откуда (P+S) + (R+Q) = (P+R) + (Q+S), где слагаемые в скобках являются площадями четырехугольников AFJE, GCHJ, FBGJ и HDEJ. Поэтому, имея равенство (P+S) + (R+Q) = (P+R) + (Q+S) и зная любые три площади имеющихся сегментов, мы легко найдем площадь четвертого.

Чуток откорректировал. Запутка с буквами.

А так, конечно, здорово.

Volkodav Можно было порядок не корректировать, там нет слова "соответственно"

Кар-Карон

Ну, порядок четырёхугольников не был основным предметом корректировки, но так всё же понятнее а к чему усложнять?)

С днём рождения!