4.2) Алгебраические уравнения
Уравнения разных степеней (квадратные, кубические итд).
Саму запись уравнения называют многочленом соответствующей степени
Решение уравнения степени - его корень
Есть у уравнения есть корень (может и не быть) - оно называется действительным.

4.3) Деление многочленов и элементарные дроби
Отношение друг к другу двух многочленов называется рациональной дробью (функцией).
Отношение двух чисел или числа с многочленом - элементарной дробью.

4.4) Системы линейных уравнений
Набор уравнений с общими неизвестными - система
При этом часть элементов системы могут быть линейно независимы друг от друга
Тут же разные действия с матрицами (потому что матрицу так же можно описать как систему уравнений, и наоборот).

5) Теория групп
Группа элементов это такой набор элементов которые можно как угодно перемножать между друг другом и результаты при этом останутся внутри группы.
Если элементы в группе можно менять местами в уравнениях - она коммутативная.
В зависимости от количества элементов группа может быть конечной или бесконечной.
Если группа состоит из степеней одного элемента - она циклическая.
Так же есть подгруппы.
Делитель всех элементов в группе называется ее индексом.
Единое правило превращающее один элемент группы в следующий - определитель

5.1) Примеры групп, группы перестановок
Самые базовые группы это наборы чисел. Натуральных, рациональных и тп.
Если взять группу целых чисел 1,2,3,4 и тд и поменять какие-то (любые) элементы местами - это будет группа перестановок. И она будет симметричной обычной группе целых чисел (и другим группам перестановок от всех целых чисел).
Перестановки могут идти по правилам и складываться в циклы. Если перестановок в группе бесконечно - это группа преобразований.
Как и все на свете - группы можно записывать в виде матриц, и там отдельная теория о том какие матрицы как соответствуют каким группам.

Мне очень нравится звучание теоремы Кэли - всякая группа изоморфна некоторой подгруппе группы преобразований некоторого класса объектов на себя.
Очень мило.

5.2) Прикладное значение групп
В целом теория групп нужна, чтобы находить недостающие элементы. К примеру нашли часть химических элементов, разложили их в таблице Менделеева в группу, выделили общие правила и далее ищем недостающие.

5.3) Структурные свойства групп
Части групп выделяются в множества, а их части в подмножества.
Ну и тут тонна действий между теми и другими. (Я об этом уже писал но как обычно в математике любая новая выдуманная хрень должна быть немедленно применена ко всем прошлым ранее выдуманным хреням.)

6) Векторы
Это уже геометрия пошла.
Соответственно у нас начинают точки, отрезки, абсолютные значения (см длина) отрезков. Далее все возможные действия между векторами (см. применить на них всю прошлую хрень).
Отдельно координатное представление - позволяющее записать векторы формулами и делать с ними все то же самое что и с прочей алгеброй.

7) Тензоры
Тензор это точка в пространстве (или ячейка в матрице) от которой отходят разные векторы. Фактически это параметры точек в пространстве. Все точки-тензоры вместе это поле. Обычно выглядит это как магнитное поле.
Математика тензоров описывает разные преобразования с тензорными полями. Ну грубо говоря если поставить рядом с полем магнит - как он изменит тензоры.
Если у точки нет векторов - она называется скаляр (или тензор нулевого ранга). Иначе это тензор первого ранга (если у нее один вектор) и так далее до бесконечности.

Далее идет дифференцирование тензоров (то есть определение с какой скоростью они растут или уменьшаются на некой области).

8) Матрицы и операторы
Опять пошли приближаться к программированию.
Для начала здесь идут уже более суровые действия нам матрицами - сложение одних матриц с другими и прочее.
Далее правила перестановок элементов в матрицах.

Оператор это собственно функция. Не знаю почему в разделе о матрицах их иначе называют. Впрочем я помню и в программировании эта же путаница была. Короче это синонимы.

Оператор может быть линейным, если это просто закон, меняющий значения матрицы. Может быть матричным, если оператор это тоже матрица (то есть к разным ячейкам применяет разные правила).
На графике оператор может быть представлен вектором или даже тензором.

Оператор мало того что тоже самое что функция. Но и к самому оператору можно применить функцию (или другой оператор. Потому что это одно и то же). Естественно.

9) Векторный анализ
Разложение пространства на векторы точек, судя по всему загоняние в матрицы, и далее дифференцирование всего этого добра.
Где-то начиная с этого момента мне уже сложно понимать отдельные детали теории, да и не так чтобы особо было интересно. Это уже сильно узкоспециализированная фигня.

10) Анализ функций комплексной переменной
Добавляем комплексные числа - это фактически переменная, внутри которой несколько чисел.
Любое число можно представить в виде комплексного, достаточно одно из комплексных чисел указать нулем.
Наоборот комплексное число представляет в виде действительного, для чего все части комплексного числа кроме первой перемножаются на мнимую единицу, ту самую которая в квадрате дает -1. И такая часть числа называется мнимой.
Такие переходы из комплексного числа в обычное теряют часть информации комплексного числа, то есть результат не равен, но сопряжен.

У комплексных чисел есть геометрическое представление, точнее тригонометрическое, и там как раз позволяет представлять мнимую часть без потери информации.
Опять же я с большим трудом уже вникаю как это тригонометрическое представление работает и как оно далее интегрируется. В целом как раз в раздел комплексных чисел мне бы хотелось еще повникать отдельно.

11) Дифференциальные уравнения
Ну про дифференциалы я уже писал. С ними как обычно применяется все алгебраическое говно, что и со всеми остальными концептами математики.
Там отдельная часть это нелинейные уравнения, то есть такие где несколько решений, что обычно получается в уравнениях высшего порядка.
Многие дифференциальные уравнения особенно высших порядков вообще даже не решаемы, часть не решаема даже приблизительно, потому что приводит к бесконечностям и неопределенностям.
Плюс у них могут еще быть непостоянные коэффициенты, то есть на одной части графика он может вести себя одним образом а на другой иначе. Что еще увеличивает сложность процесса. Ну то есть уравнение может быть решаемо в некоторых частях, а в других нет.

12) Основы евклидовой геометрии
Окей, геометрия пошла.
Точки, расстояния, прямые, отрезки, параллельные, перпендикулярные, углы, ломанные линии, замкнутые линии, фигуры, радиусы, площади, объемы, касательные, периметры, окружности. Пока нет чисто кривых.

Далее тригонометрические функции углов.

Далее системы координат, переведение фигур из одной в другую. Пространства с разными измерениями. Декартовы координаты. Школьный базис.

13) Геометрия на плоскости
Отображение точек векторами (вектор направлен от центра координат к точке). Далее уже с этими векторами можно делать что угодно.
Вычисление площадей многоугольников, все это уже тригонометрия.
Кривые на плоскости, во началась, т.к. это уже пошло дифференциальное исчисление в геометрии. Фактически кривая задается дифференциальным уравнением.

14) Геометрия в трехмерном пространстве
Все тоже самое что на плоскости, но не в квадрате а в кубе, уравнения третьих порядков, где начинаются уже нерешаемые части геометрии.

15) Дифференциальная геометрия
Вычисление изломчатых кривых в трехмерном пространстве, и что еще хуже - фигур с кривыми сторонами, их площадей, объемов, обрезаний одних кривых фигур другими и тд.

16) Основы римановой геометрии
Далее неевклидовые кривые пространства. В некотором роде как такое пространство может быть представлена к примеру поверхность Земли, где паралелльные линии пересекаются на полюсе (и на самом деле не только на полюсе т.к. Земля не ровный круг).
Здесь уже криволинейные координаты и кривые векторы и все кривое и косое и все это надо считать.
Потом чтобы еще сильнее сломать мозг к каждой точке в неевклидовом пространстве подвешиваются параметры, получаются тензоры, и далее надо их ковариантно дифференцировать то есть в каждой точке есть несколько дифференциалов, влажность идет вверх а температура вниз, например.
Далее трехмерные (и любые) поверхности складываются в двумерные (и любые меньшего порядка) без потери информации так что получаются гиперповерхности.
Сами неевклидовые пространства тоже перекладываются на псевдоевклидовые, так чтобы на них работала обычная геометрия, что упрощает вычисления.
Неевклидовые пространства бывают относительно простые - ну просто искривленные, бывают более сложные закрученные. Собственно как известно гравитация искривляет пространства - то есть наше привычное пространство-время так же неевклидовое.

17) Теория вероятностей
Это все сильно-сильно отдельная от остальной математики олимпиада. Высчитывание вероятностей, зависимых друг от друга, независимых, матрицы вероятностей и распределения вероятностей по матрице (например на плоскости).

18) Элементы логики
Тоже отдельная олимпиада. Высказывания, доказательства, предикаты, следствия, математическая индукция. Этот раздел прекрасно изучается, даже если вообще больше никакой математики не знаешь.

Иии, все? Мне хочется мельком перебрать максимум разделов высшей математики. Не влезая вглубь, а просто примерно разбирая общий смысл.
Нужно наверное найти какой-то вот основательный большой многотомник и совсем мелком по нему пробежаться.