Окей, остановились на дифференциале.

Если есть любой параметр функции в точке (к примеру температура на улице в точке 15 сентября), то можно (в теории) взять этот параметр во всех точках функции (температуру на все дни сразу). И мы получим ряд чисел, который выводится из правила. То есть новую функцию.
Точно так же можно продифференцировать функцию в точке (узнать, насколько быстро растет/понижается температура 15 сентября) и повторить то же самое для всех точек функции. И закон (функция) по которому меняется рост/падение температуры - называется производной функции. Ее дифференциалом (бывает дифференциал в точке и бывает просто дифференциал во всех точках).

Продифференцировать можно не любую функцию.
Если график функции кривой, то выводя дифференциал мы получаем касательную к этому графику. Если график прямой, то касательная и есть он сам, то есть касательная касается его везде, во всех местах сразу. Если функция это тупо число, то продифференцировав его мы получим ноль, потому что число никак ни растет ни уменьшается, оно просто есть. То есть его график будет прямой линией, и касательная будет полностью совпадать с его графиком при этом не понижаться ни повышаться, то есть она будет нулем.

Если в каком-то месте графика функции есть разрыв или излом (т.е. в этом месте функция меняет скорость/наклон) то ее дифференциал в этом месте мы взять не сможем.

Далее идут правила дифференциалов разных функций. Как обычно как только математик получает новую хЕрню, он тут же комбинирует ее со всеми ранее открытыми хернями. О, дифференциал, добро пожаловать на пир духа, давай для начала сложим тебя с другими дифференциалами, потом перемножим, потом возведем в степень. Все ок? Ну хорошо, давай засунем тебя в множество, потом посчитаем ряд, найдем предел ряда, выведем функцию предела ряда. Кстааати, раз уж у нас вышла функция, дай ка ее снова продифференцируем. О, дифференциал, добро пожаловать на пир духа.

Процесс может продолжаться до бесконечности, пока у математика не взорвется мозг, либо пока сам математический аппарат не начнет взрываться, выдавая бесконечности разных порядков и неопределенности. (Особо на пределах рядов он любит.)

Далее дифференцирование сложных функций, ну то есть функций внутри которых есть еще одна функция. Case in point
Дифференцирование тригонометрических функций. Ну конечно, там же тонна говна внутри тригонометрии, как же все это не продифференцировать. Никак.
Кстати к тригонометрии у меня особенная любовь, потому что это подраздел математики где вообще лучше абстрагироваться от изначальных кругов и радиусов и воспринимать тангенсы просто как некую абстрактную херь типо игровой карточки, влияющей на другие такие же карточки. Ну то есть чем меньше ты знаешь что такое синус, тем легче тебе будет, потому что получив навороченное уравнение тангенс на котангенс в степени хуянгенс стоит тебе задуматься что это вообще значит применительно к обычной (не тригоно-) геометрии, и это кроличья нора из который ты никогда не выберешься.

Идем далее. Производные высшего порядка. Производная производной. Производная производной производной. Боже, это никогда не кончится. Наконец производная n-ного порядка. Вот оно и закончилось.

Далее теоремы дифференциального исчисления и их доказательства. Это мне не интересно.

Иии все, на этом томик заканчивается. Штош, вполнеприятственно. На следующем витке книжного списка доберу второй.