Изначально появилась идея соответствия. К примеру когда один человек раскладывает предметы в ряд, а другой напротив свои и если ряды одинаковой длины, значит в них одинаковое количество предметов.
Я знаю игры где обмен до сих пор по тому же принципу происходит.

Далее появилась идея соответствия количества пальцев количеству предметов и базовые числа для десяти пальцев, т.е. десятеричное исчисление. Изначально чисел было три - 1, 2 и 5. Все знают что луна одна, глаз два и пальцев на руке пять. То есть "как луна" значит "1", как глаз - 2, а как на руке - 5.

Далее появились значения десятков. Причем некоторые народы считали двадцатками, видимо подразумевая число пальцев и на руках и на ногах. К примеру двадцатки в французском и грузинском языке.
У новозеландцев была одиннадцатиричная система счета, т.к. кроме пальцев они считали всю руку (почему не 12-ричная тогда?) У шумеров, ацтеков и племен мексики - были пятиричные системы.

Далее числа начали записывать зарубками на дереве или линиями на перке или глине. Возникли обозначения чисел. Это еще более 30 веков до н.э. Далее возникли градации - десятки, сотни, тысячи и т.п.

Далее геометрические фигуры. К примеру слово "трапеция" происходит от слова "трапеза" т.к. трапеция эта форма стола. Сфера - от слова мяч, конус - от слова шишка, призма - от слова спил, ромб - волчок, цилиндр - валик, линия - лен (подразумевалась льняная нить), точка и пункт - от ткнуть, укол. Фигуры изначально появились как базовые рисунки основных предметов обихода.

Далее возникли древние Египет и Вавилон со своей безумной системой оросительных каналов и мощным инженерным делом. В древнем Египте преподавали математику и до нас дошли папирусы с задачами (примерно 20 век до нэ). Из более ранних времен дошли разве что квадратные координатные сетки, позволяющие строить чертежи.

У древних египтян уже были простые дроби, а вот из чисел кроме единицы и десятичных отметок не было.
Не смотря на все их инженерные чудеса, знания египтян в математике ограничивались дробями, уравнением первой степень и неполным уравнением второй. В целом этого хватало для календаря и подсчета налогов.
Сложения-умножения-деления столбиком не было, то есть вычисления были делом не простым, математик был не далек от жреца, таблицы умножения-сложения скорее всего заучивали наизусть, причем чаще всего сводили вычисления к удвоению, т.к. его знали лучше всего.

Отдельное развлечение для историков-математиков - это брать древние задачники и решать их методами, известными только людям того времени.

Египтяне уже умеют считать площади и объемы фигур (все это нужно для земледелия), знают что такое сторона фигуры. Высшим пилотажем было примерное высчитывание площади круга. Теоремы Пифагора у них еще не было (ну и для нее нужно уметь считать уравнения второй степени, которых тоже еще не было).

Египетская и вавилонская математики еще не обобщены, они привязаны к конкретным практическим задачам, и пока еще никто не знает как использовать методы решения одной задачи для задач другого типа (к примеру одно направление это налоги, другое - архитектура, третье - календарь, четвертое - мелиорация, и для каждого свои методы).

Ближе к обощению знаний подошел Вавилон, где ходили кучи таблиц, к примеру таблица степеней двойки. В результате более развиты прогрессии. Ростовщичество вводит идею процентов, процентных ставок. Все это считалось опять же таблицами.

Ко времени Хаммурапи (17 век до нэ) развилась базовая алгебра, появились неизвестные, квадратные уравнения, уравнения с тремя неизвестными позволили считать не только площадь но и объем (три неизвестных - длина, ширина и высота). Отрицательные числа при этом были еще неизвестны.

Алгебра привела к идее тождественных преобразований. Математика постепенно начала уходить от эмпирики и превращаться в мыслительную игру. Следом за кубическими уравнениями появилась необходимость считать их наоборот - то есть считать корни. Точно их считать не умели, но приблизительно могли.

6 век до нашей эры дал теорему Пифагора, что значительно продвинуло геометрию. Возникла идея числа пи (правда его считали тройкой ровно) и зачатки тригонометрии. Опять же теорему считали один раз с огромным трудом, потом забивали ответы в таблицу и далее использовали эти таблицы, то есть математик того времени походил скорее на биолога, он постоянно копался в списках готовых решений.

Пифагор создал школу, которая продвинула геометрию дальше, создала теорию правильных многоугольников например.
В Вавилоне появляется знак нуля. Да кстати нумерация крупных чисел в Вавилоне была шестидесятиричной, и именно поэтому в круге до сих пор 360 градусов, а не 100, например.

Математику как чисто дедуктивную науку начали развивать греки в 5 веке до нэ. Они же создали аксиомы и теоремы, ввели идею доказательства.
Греки используют математические доказательства не столько для того, чтобы утвердить правильность чего-то, как раз правильность обычно и так всеми признается, но для того, чтобы связать уравнения в единую систему (вывести одни через другие). Греки крупнейшие обобщатели всего на свете до начала двадцатого века, где их переплюнут только коммунисты. Вершина их развития - трактаты Аристотеля 4 века до нашей эры, где написано все обо всем.

Греки строят математические модели мира. "Все есть число" говорят они, предвосхищая Матрицу. При этом сама техника Греции не сильно превосходит вавилонскую, то есть все это делается не ради практической пользы. Греки вводят научную полемику и дебаты. Аристотель вводит логические системы, то есть над-математическую систему.

Греки вводят географические карты и солнечные часы. Крупнейшие прорывы шестого века до нэ совершила ионийская школа во главе с Фалесом, но она ни шла в сравнений с пифагорейской школой, которая фактически математику в современном понимании и создала. Кстати изначально теорема Пифагора была известна только для некоторых случаях, что выражалось в таблицах пифагорейских чисел-троек.

Именно пифагорейцы предположили, что все закономерности в мире можно выразить числами, что стало началом физики. Они вводят деление на четные и нечетные числа, выдумывают простые числа, вводят математику простых дробей (до них математика работала только с некоторыми из дробей ориентируясь опять же на таблицы).

В результате пифагорейцы приходят к нерациональным числам - то есть таким числам, которые невозможно написать. Это дало им понимание, что у логической мысли есть границы, те если число невозможно написать - значит его невозможно и представить. В результате развилась теория делимости, предполагающая какие числа можно делить на какие, получая точно известный результат, а где результат будет уже только приблизительным. Фактически это идея множителей.

Больше всего нерацональных чисел встречалось в геометрии, так что внимание греков переключилось на геометрическую алгебру (и этим создало ее). Появилась идея геометрического решения математических уравнений.
Фактически вся математика того времени превратилась в подвид геометрии. Число представлялось отрезком. Сложение чисел - приставлением одного отрезка к другому. Умножением - высчитыванием площади прямоугольника, построенного на двух отрезках.

Довольно быстро этот подход наткнулся на свои границы, особенно когда геометрическими методами принялись решать уравнения третьей степени (то есть строить кубы и другие трехмерные фигуры). К примеру совершенно неразрешимой геометрически оказалась задача об удвоении емкости куба.
Для решения таких задач ввели идею конических сечений, которые упращали трехмерную фигуру, так что математик рассматривал только ее двумерную проекцию на плоскость.

Начинаются первые изучения математики некоторых кривых - квадратиссы в первую очередь. За нерациональными числами приходит понятие бесконечности и следующие за ним парадоксы. За бесконечностью - понятие непрерывности - то есть бесконечности чисел между двумя любыми числами. Наиболее ярко это выразилось в парадоксах Зенона, самый известный из которых - гонка Ахиллеса и черепахи.
При этом бесконечно малых и бесконечно больших чисел греки еще не знали, что приводило к размышлениям вроде: пускай отрезок можно бесконечно делить на равные куски. Если каждый из этих кусков равен нулю, то весь отрезок равен нулю, если же каждый кусок не равен нулю - то значит отрезок бесконечного размера. То есть отрезок одновременно и не существует и равен бесконечности.

Греки замечают отделение логики от эмпирики. Парменид делит сущее на две части - то что можно постичь личным опытом, и то, что постигается только логическими размышлениями, а опытом никак.

Демокрит вводит идею атомарности - что любой объект может быть разделен на простые примитивы. Эту теория развивает Евдокс для геометрии, сводя трехмерные фигуры к двумерным, их составляющим, а сами двумерные - к граням и углам их сторон.

И на этом пока все. Я где-то треть первого тома прочитал. Дальше позже.